在機率的世界中，一個 隨機變數 並非像代數中那樣代表未知數的佔位符。相反地，可以將它視為一個 正式的轉譯器。它是一個實值函數 $X: S \rightarrow \mathbb{R}$，將實驗中的每一個質性結果（例如「抽出一顆白球」）映射成一個量化的數值（例如「-1美元」）。
映射的邏輯
透過使用隨機變數，我們不再討論抽象結果的集合，而是改用數字來描述事件。例如，若我們擲一枚硬幣三次，不必再觀察集合 $\{HHT, HTH, THH\}$，只需定義 $X$ 為「正面出現次數」，直接分析事件 $X=2$ 即可。
離散性質
一個隨機變數是 離散 如果其取值範圍為有限或 可數無限 （例如整數）。這項區別至關重要，因為它讓我們能使用 求和 （$∑$）而非積分來計算總機率。
機率質量函數（PMF）
機率質量函數（PMF），以 $p(a)$ 表示，記錄了離散隨機變數取特定值 $a$ 的機率。它必須滿足兩個不可妥協的公理：
- $p(x_i) \geq 0$（不得有負的機率）。
- $\sum_{i=1}^{\infty} p(x_i) = 1$（總機率質量必須涵蓋所有可能結果）。
🎯 核心公式
對於任何事件 $A$，其機率即為該事件內所有機率質量的總和：
$p(x) = P\{X = x\} \quad \text{且} \quad P(A) = \sum_{s \in A} p(s)$
範例解析：瓮中悖論
考慮一個裝有 8 顆白球、4 顆黑球和 2 顆橙球的瓮。我們抽出一顆球，並定義 $X$ 為所得金額：抽到黑球獲勝 2 美元，抽到白球則輸掉 1 美元。機率質量函數將「抽球」這個行為轉化為財務分配，使我們得以計算破產與收支平衡的可能性。
範例 2a 詳細分析
若 $p(i) = c\lambda^i/i!$ 對於 $i=0, 1, 2, \dots$，我們首先透過確保總和等於 1 來求出 $c$。利用 $e^\lambda$ 的泰勒級數，得出 $c = e^{-\lambda}$。因此，$P\{X=0\} = e^{-\lambda}$，而 $P\{X>2\} = 1 - e^{-\lambda}(1 + \lambda + \lambda^2/2)$。